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中國清代1723~1820年間的借根方與天元術
(2002) 林倉億
借根方與天元術皆是用以處理一元多次方程式的方法，前者在清朝康熙年間由傳教士所傳入，並載於康熙帝御製的《數理精蘊》中；後者則是在金、元時期發展成熟的中國傳統算學，以金、元算學家李冶的《測圓海鏡》與《益古演段》二書為代表性著作。雖然這兩者所處理的對象相同，但在康熙朝時，清朝算學家已無人能曉天元術，因此，在借根方傳入與流傳的初期，並未有算學家意識到借根方與天元術間關係，直到梅成提出「天元一即借根方解」的說法後，才陸續有許多算學家將這兩者相提並論，也開啟了借根方與天元術間的互動。 1723~1820年間的借根方與天元術的發展和互動，是清朝數學史中至為精彩的部分，算學家們在這兩種方法上所進行的會通、對話，甚至是辯論，不僅反映出當時的學術風氣（乾嘉學派學風與西學中源說）與數學發展（會通中西學與興復古法），更具有豐富的認識論面向。本文將先從今日的角度，對借根方與天元術進行比較，而透過比較這兩者，我們將發現這兩者個別的術語、長處和侷限，確實影響了算學家們對它們的理解，也因而影響了它們在清朝的發展與互動。其次，在筆者所得見的算書中，此時期載有借根方或天元術的，計有何夢瑤的《算迪》、梅成的《赤水遺珍》、李銳的重校《測圓海鏡》與《益古演段》、《弧矢算術細草》、《句股算術細草》、焦循的《天元一釋》、張敦仁的《緝古算經細草》、駱騰鳳的《藝游錄》、《開方釋例》、安清翹的《學算存略》、張作楠的《量倉通法》、《方田通法補例》、《倉田通法續編》、羅士琳的《比例匯通》，本文將根據算學家在算學著作中所呈現的借根方或天元術內容，分析他們對這兩者的認識及看法。而透過對個別算學家的分析，我們將會看到相同的借根方或天元術，在不同算學家的詮釋之下，展現了不同的風貌，而這是見證了在知識的傳播中，知識接受者並非僅是被動地「複製」知識，相反地，知識接受者本身的固有知識、所處的文化背景，都會對知識接受者產生重大的影響。
中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路
(2013) 蘇俊鴻
1607年，徐光啟(1562-1633)與利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)兩人合譯的《幾何原本》刻本問世，標幟著西方數學有系統引入的開始。1905年，光緒決定廢除科舉制度，以利學堂的推廣，代表著中國的教育制度與現代教育制度的接軌，連帶著中國傳統數學邁向數學的現代化。回顧這近三百年的中國數學的發展，可說是在傳入的西算主導下，傳統中算被迫與之對話的曲折過程。當然也反映了在地脈絡如何發揮調適與吸納的功能，從數學社會史的研究進路正是為了突顯此一現象。基於此，我們才能更清楚乾嘉學派對於算學發展的重要性，也對於算學「專門之學」的學術傳統的形成有更具體的了解。同時，受到社會文化因素的影響，中國傳統數學(中算)與西方數學(西算)之間的互動與對話，彼此的會通很難有一種概括性的範例出現。本論文特別列舉「勾股 vs. 幾何」、「杜氏三術 vs. 割圓術」以及「借根方 vs. 天元和天元 vs. 代數」為例，說明各種不同的會通模式。經過這三百年的全面爬梳，我們發現算學的知識位階及算學家的社會地位在清代學術逐漸的上升的現象，並且鉤沉出清代算學發展如此蓬勃發展的真正原因：學術贊助的支持。正是因為這些學術贊助的支持，才使得算學的知識位階及算學家的社會地位在清代學術可以逐漸上升。進而，促使晚清出現具有數學專業意識的學者群體，迅速與現代數學接軌，完成了中國傳統數學西化的歷程。當然各個學術贊助對於算學的影響，以及學術贊助之間的相互比較，本論文只作了初步的描述與分析，更深入的討論是將來努力的方向。
《代形合參》之初探
(2017) 蘇之凡; Su, Jhih-Fan
清末的中國正值西方世界的叩門，此段時期因為政治外交的因素，使得大量西學被引入了中國清朝，而這相當多量之西方譯本，也仰賴當時從西方來華的傳教士們，本書亦為其中之一。《代形合參》的底本為《解析幾何原理》（The Elements of Analytical Geometry），是美國數學家伊萊亞斯．羅密士（Elias Loomis, 1811－1889）所著，筆者所研究之版本是大清宣統二年歲次庚戌（1910），由當時在華的美國傳教士潘慎文（Alvin Pierson Parker, 1850－1924）為譯文者，謝洪賚先生為筆述者。在《代形合參》之前的解析幾何相關翻譯著作中，就屬中國清朝數學家李善蘭（1811－1882）和偉烈亞力所譯的《代微積拾級》（1859），此中譯本的前九章亦為解析幾何之內容，但是僅有平面解析幾何，並無立體幾何與圓錐截痕部份，此在《代形合參》中則加以補齊。《代形合參》一書為清末所興起之各學堂的數學通用教科書之一，內容分為三卷，除了「卷一有定式形學」與「卷二無定式形學」兩卷為平面幾何外，還介紹了立體幾何部分的「卷三立方形學」。另外，最後的附錄部分，則是描述如何利用座標法來繪製溫度曲線、地理曲線和氣象曲線等。《代形合參》大抵已初步介紹當代的解析幾何所涵蓋內容，在當時是一本專門地系統地闡述西方解析幾何的書籍，甚至其中的「直線」、「論圜」、「拋物線」、「橢圓」、「雙曲線」、「立方形學」等卷章，亦是現在高中數學教科書的重點內容之一，因此，值得我們研究探討與比較。
初探劉徽的窮盡法
(國立臺灣師範大學研究發展處, 1982-06-??) 洪萬生
The method of exhaustion is the most important method in proving some area and volume formula before calculus was invented. In the article, emphasis is placed on Liu Hui's method of exhaustion as compared with the method of exhaustion in Euclid's Elements.
剪貼、拼湊商高定理的證明
(臺灣師範大學科學教育中心, 1980-06-??) 洪萬生
南秉吉 (1820-1869) 對古典算學的重新詮釋
(2010) 英家銘; YING, Jia-Ming
本篇論文討論韓國朝鮮王朝末期數學家南秉吉 (1820-1869) 的算學研究。南秉吉共寫下七部算學著作，是當時朝鮮算學家中的代表。這七部著作為《緝古演段》、《無異解》、《測量圖解》、《算學正義》、《劉氏勾股述要圖解》、《九章術解》、《玉鏡細草詳解》，其中《劉氏勾股述要圖解》是南秉吉對勾股術的專著，《算學正義》是包含東算所有重要主題的教科書，其餘五部均為對古典中算內容的注解或討論。朝鮮王朝末期的算學家，其算學知識來自兩個傳統。其一為中國宋元時期傳入高麗王朝，基於籌算的算學著作，後來被朝鮮王朝保留並列為算學取才科目。其二為中國明清時代的算學家與耶穌會傳教士所編著之西方數學著作，以康熙時代編纂之中西數學融合的百科全書《數理精蘊》為代表。從南秉吉的算學研究內容，也可以看出這兩個傳統的融合。南秉吉的勾股理論研究主要來自《數理精蘊》；幾何圖形均為類似歐氏幾何之頂點標號靜態圖形；論證風格則透過《數理精蘊》間接受到巴蒂版《幾何原本》的影響，強調以直覺理解。南秉吉的代數研究，聚焦於基於籌算的宋元代數方法「天元術」，與耶穌會傳教士傳入清國之代數方法「借根方」之間的差別。南秉吉早期認為兩種方法無異，但到晚年學習過「四元術」後，則較傾向使用「天元術」。南秉吉的對古典中算內容的注解或討論，也充分展現這種融合的傳統。以《九章術解》為例，他使用「四率比例」注解今有術與盈不足術，而「四率比例」正是中西數學融合的例證。此外，他使用類似歐氏幾何的圖形，但在解題時也用到接近「出入相補」的手法。另外，他在生涯早期完全以借根方解天元術，後期則用借根方為天元術背書之後再將之擴充至四元術。綜觀南秉吉的算學研究，發現他大多是用《數理精蘊》為代表的中西融合算學知識重新詮釋古典算學。借用西方正典的概念，筆者認為，南秉吉在生涯早期希望以清帝國與朝鮮共同認定的數學正典《數理精蘊》來詮釋古典算學的知識，到生涯後期則希望寫出朝鮮自己的正典，在大多數數學主題保留《數理精蘊》的知識，但在代數方面強調天元術與四元術，最後編成《算學正義》。南秉吉所代表的，是19世紀初葉至中葉，朝鮮算學家以當代知識重新詮釋古典算學的努力。
安島直圓《不朽算法》之內容分析
(2013) 王裕仁
本篇論文藉由《不朽算法》探討安島直圓(AjimaNaonobu，1732-1798)的數學成就，以及對往後和算的影響。安島直圓生前著作有42部，卻沒有一件正式出版，辭世隔年，由弟子日下誠，蒐集生前部分著作彙整而成《不朽算法》上、下兩卷。筆者在細讀其作品後發現，安島直圓在《不朽算法》上卷中有多達九題討論關於「累圓」問題的一般解，這對於當時的數學技術說比較困難；以及以自創的割圓術解決「圓柱穿空圓術」問題，在此筆者提出異於一般學者認為：安島直圓在求解的過程中，涉及「二重積分」。這類型的穿去問題影響往後和算家的研究方向。除此之外，在《不朽算法》下卷中，也可以發現安島直圓利用和算的方法創造「指數表」，雖然等價於《數理精蘊》中的「對數表」，功能也是在於開高次方，但能以和算固有形式，創造新的學問，對於當時日本人而言是比較有利於學習。
宣城梅沖《勾股淺述》之內容分析
(2007) 廖淑芳
摘　　要在清代的中國科學史上，安徽宣城的梅氏家族可謂赫赫有名，該家族共有四代人曾致力于天文曆算的研究，出了五位知名的天算學家，對整個清代天文學和數學的發展產生過非常深刻和深遠的影響。然而自梅瑴成之後，梅氏家族之算學光環似乎日漸轉暗。筆者所欲追尋梅沖即生於此家族，其算學著作僅《勾股淺述》一卷，其主要參考來源為梅文鼎《勾股舉隅》與程大位《直指算法統宗》。梅氏家族中於疇人傳中有傳者，乾嘉時期的梅沖是最後一位。阮元稱：抱村稟承家學，於詩古文詞皆高出時輩，尤肆力於制藝，曾撰離騷經解一書行世，其所著之勾股淺述蓋本徵君勾股舉隅而詳明之，并雜取算法統宗難題數則，附列於後，期便初學，無大精義，但於勾股中聊見一端耳。但筆者所及的史料中，有關稟承家學的梅沖，其相關資料極少，故無法針對梅沖生平與其詳細的交遊網絡來作相當的著墨。然而，憑藉其高祖父梅文鼎，以及祖父梅瑴成豐富的成就，吾等仍可以梅沖之家學背景，推論其應具之算學能力。另，由梅沖〈《勾股淺述》自序〉成於嘉慶二年（西元1797年），可知其所處之時期，屬乾嘉學風與西學中源說的學術思潮，透過對此時期學術背景的認識，對於梅沖選擇《勾股舉隅》、《御製數理精蘊》、《直指算法統宗》三本書作為《勾股淺述》主要參考書籍的理由，便能顯而易見。此外亦藉由將梅沖這樣一個次要數學家，置於嘉慶初年學風交替的大環境下，透過其《勾股淺述》一書，體會以曆算名家的梅氏後人盡力於梅學的精神，以及其企圖在普及知識的同時宣揚家學的心意，或許亦能於當時的歷史脈絡之下，一窺精於制藝的梅沖及其所撰《勾股淺述》於復古風潮中所扮演的角色或歷史定位。最後，進入梅沖《勾股淺述》的算學世界裡，盡情地一窺全書對於勾股術的內容安排與詳述，來感受梅沖處處為“初習者計耳”的溫柔心意；並藉由《勾股淺述》與《勾股舉隅》兩文本的對照，來檢核梅沖回歸勾股並淺述之成效。除了要在梅沖的《勾股淺述》中，大觀其欲於普及數學知識的同時，宣揚其梅氏家學之企圖，並檢驗之；更希望能夠看到一個曾經以算學鼎盛於世的家族，其最後一位有算學著述的子孫，如夜空中最後一顆花火般，盡力閃耀的努力。
幾何要法的算學研究
(2006) 彭良禎
摘要明末清初，隨者地理大發現之航海技術的日趨成熟，以及歐洲宗教革命之後，耶穌會士來到中土傳教的文化激盪，徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》，為中算發展注入了新的元素。面對《原本》的公理化論證體系，清初算學家的鑽研成果豐碩，但不懂幾何者亦比比皆是，因而有一本「其義約而達，簡而易從」的《幾何要法》的問世。《幾何要法》由艾儒略與瞿式穀合譯，其翻譯字句承自《幾何原本》，底本則依Clavius的Euclidis Elementtorum Libri XV. 內容以幾何作圖題為主，而不涉及論證說明，但在格式上，卻作了相當大程度的調整，以主題為依歸，分直線、圓形、三角形、方形等單元題材介紹，強調多法作圖，即今所謂「一題多解」，以達其務實與簡化之功用，另也作了些許的「行銷包裝」，或期能助於修曆人員的基礎培訓。至於《幾何要法》選取原Clavius所評註，但《幾何原本》未錄的眾多內容中，「方圓神法」這個意外的驚喜，或是開啟明清算學之幾何研究的新頁！入清之後，《幾何要法》被湯若望收入《西洋新法曆書》中，從此成為皇家天算學習書目之一，並陸續現身在《新法曆書》、《新法算書》中，隨《古今圖書集成》、《四庫全書》流傳，其在欽天監或其它官方的基礎技能培訓中，當有其一定的影響。而在民間方面，李字金對《幾何要法》的研究最深，且與《幾何原本》一併刪注成《幾何易簡集》。對清初中算家的幾何研究，應屬一種反向思維的刺激。《幾何要法》在數學HPM教學的應用上，可作為學生啟式發學習與教師教學反思的文本。若待更多撰述人員算學背景的相關史料與研究出爐，或可嘗試作為古今HPM教學的一種對照與範例。
建構優良數學普及書籍指標
(2021) 楊清源; Yang, Cing-Yuan
本研究目的有二：建構優良數學普及書籍指標，以及應用指標分析不同類型的數學普及書籍。針對第一個研究目的，本研究採取文獻探討法、德懷術與焦點團體討論，以洪萬生等人（2009）的優良數學普及作品標準為主要參考依據，藉由數學普及書籍與書評定義指標內每個子維度1至5星等的定義及對應例子，初步建構優良數學普及書籍指標，形成第一回德懷術問卷。以14位專家學者為研究對象，進行兩回德懷術問卷調查，透過專家意見與統計結果，以及與焦點團體討論，判斷專家意見是否收斂、指標是否有越修越好的趨勢，確定優良數學普及書籍指標。針對第二個研究目的，本研究採取內容分析法，從2021年臺灣數學史教育學會推薦書單，依據數學普及書籍(包含數學小說類、趣味數學類、數學知識演化史類及數學教育議題反思類)，每類挑選2本，共挑8本數學普及書籍作為研究對象。再以優良數學普及書籍指標作為分析架構，分析不同類型的數學普及書籍之特色。本研究主要結果如下：優良數學普及書籍指標包含三個維度「A. 知識的實質內容」、「B. 形式或表達」、「C. 內容與形式如何平衡」，再細分為15個子維度，分別為A-1認識論面向、A-2方法論面向、A-3歷史或演化面向、A-4哲學面向、A-5教育面向，以及A-6與自然科學、人文社會乃至生活經驗的連結；B-1創新手法、B-2數學知識的洞察力、B-3歷史事實的洞察力、B-4異文化的啟蒙意義、B-5忠實可靠的參考文獻、B-6敘事的趣味性、可及性與一貫性，以及B-7中譯本的品質；C-1青少年層次和C-2教師層次。其中，每個子維度皆有1至5星等的定義與其對應的例子。
從HPM的觀點考察高中數學函數的教材
(2016) 萬晉宇; Wan, Chin-Yu
　　如何運用數學史教授數學已是一種國際數學教學趨勢，然而，對於國內高中數學教育來說，相關的研究依然有限。本研究希望從函數發展的歷史資料與現今高中函數的教材內容作比較研究，以作為高中函數教材的另一種教學方向。研究方法採用內容分析法，針對民國97年教育部公布的99課綱，以及民國102年教育部公布的103課綱中的高中函數教材內容，挑選市占率最高的三個版本討論HPM(History and Pedagogy of Mathematics)如何介入高中數學的函數課程之中。研究結果如下： 1. 根據文獻，有部分中學生學習函數的認知困難和函數概念發展時所遭遇的困難一致。 2. 目前這三本教科書，僅有一個版本的教師手冊在介紹函數發展史，其餘的版本皆是使用給予一個實例，然後定義名詞。 3. 三個版本的教科書均沒有介紹函數概念的起源，以及為了解決什麼問題才發展函數概念。 4. 三個版本的教科書僅有一個版本有統整這些特定函數(指對數函數、三角函數)的一致性，並在這些特定函數中抽象化函數的定義。 5. 狄利克雷函數不管是在歷史上還是在現代高等數學都極具代表性，不過僅有甲版本的教師手冊有提到狄利克雷函數，三個版本的教科書完全沒有提到此函數。　　根據研究結果，研究者建議：在函數教材的設計上，可以循歷史的發展脈絡，完整呈現函數發展過程的每個階段。教材內容也應鋪陳歷史發展上所遭遇的問題，進而引起學生動機。另外提供教師的數學史進修課程以及發行「HPM」的相關刊物以落實數學史的教學，使HPM的精神、理念被更多人瞭解。
從HPM觀點看99課綱高中數學行列式教材
(2015) 呂坤明; Lyu, Kun-Ming
運用數學史教授數學已是一種國際數學教學的趨勢，然而，對於國內高中數學教育來說，相關的研究依然有限。本研究希望從線性代數及行列式發展的歷史資料與現今高中行列式的教材內容做比較研究，以作為高中行列式教材的另一種教學進路。研究方法採用內容分析法，針對《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》中的高中行列式教材內容，挑選三個版本探討 HPM ( The Relations between the History and Pedagogy of Mathematics ) 如何介入高中數學的行列式課程之中。研究結果如下： 1.《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》的課程架構下，各家版本較難完整呈現行列式的發展脈絡，故HPM的精神與其功能無法發揮出來。 2.教科書使用相關數學史的情形並不多，且著重於數學家的故事或是專有名詞的解釋，其定位較像是課後的「資料補充」，沒有更進一步的運用在啟發學生思考。根據研究結果，研究者建議：在行列式教材的設計上，可循歷史發展的脈絡，完整呈現二階與三階行列式之間的關聯性；教材內容也應鋪陳歷史發展上所遭遇的問題，進而引起學生學習的動機。另外，提供教師的數學史進修課程以及發行「HPM」的相關刊物以落實數學史的教學，使HPM的精神、理念被更多的人了解。
從《幾何原本》第十卷到《無比例線新解》
(2007) 王鼎勳
論文摘要十九世紀末，鴉片戰爭失敗後，中國門戶洞開，經歷禁教之時起，中國與西方的交流幾近斷絕的影響。中國數學幾乎在所有領域都不能與西方抗衡，透過洋務學堂的創設、書院的流傳及教會學校的增設，西方數學再次大規模地傳入，並且在19世紀末20世紀初，中國傳統數學終於被西方數學取代，本論文的研究對象－吳起潛，於當時的時空背景下，透過自學、書院的洗禮，教會學校流傳出來的教科書（翻譯書）的訓練，再到新式學堂的任職，民國後對數學教育的持續關懷，逐漸顯示出西學東漸後的影響，而《無比例線新解》為《幾何原本》第十卷的重新詮釋，為吳起潛年輕時的舊作。要了解《無比例線新解》，則不可規避《幾何原本》第十卷的形成時所遇上的難題，在希臘時期「萬物皆數」的信條下，遇上了不可公度量時，拒絕承認「無理數」為數，但接受不可公度線段為實際的存在（數形分離）。也因此《幾何原本》第十卷才有辦法產生，而《幾何原本》傳入中國造成正面的影響，開始重視邏輯演繹體系，對中國數學多只重視「應用」，不可不謂之其進步的起點。本文試著從《幾何原本》第十卷的內容與《無比例線新解》的內容中比較出，因時代背景產生工具與認知的差異，去體會兩位相隔2000多年的作者，想傳達的訊息，而經筆者的分析，認為「《幾何原本》第十卷：解決平方根無理量時，需要設計。」、「《無比例線新解》：數與量合一，利用代數的方法渾然天成。」由這兩個結論，也可看出，在量的世界裡，「作圖」便成了一種指標，而數的概念裡，便可抽象以符號的形式呈現，也無怪乎《幾何原本》第十卷的內容分析，從Heath做完之後，因符號數學於現今高等教育後，便已內化到學習者之中了，因此《幾何原本》第十卷的研究便乏人問津了。總而言之，《幾何原本》的形成及傳入中國，造成中國數學質變的開端，西學東漸與數學教育的開放，造就了教育工作的職業化，也造成了中國於清末民初有不少人投入數學教育的行列，相信吳起潛（吳在淵）便是其中的一份子，而且在東西交會的年代，奮身投入數學教育領域的先驅者，其數學能力與教學方法，值得參考與推廣。而《無比例線新解》應是吳起潛（吳在淵）年輕時讀《幾何原本》第十卷的讀後心得，也應是告別舊數學，當然觀察吳起潛（吳在淵）後期之表現，便較能體會《無比例線新解》的內容為何頗富教育意義了。
從三角形面積公式談幾何直觀教學
(臺灣師範大學科學教育中心, 1982-01-??) 洪萬生
從南秉吉(1820~1869)《緝古演段》看東算史上天元術與借根方之「對話」
(2005) 張復凱
摘要天元術與借根方是兩種利用設未知數來解題的方式，前者早在李朝世宗時便隨著《算學啟蒙》而傳入韓國；後者則是在《數理精蘊》的傳入下為韓國所習得。由於天元術傳入的時間較早，剛開始接受「借根方即天元術」或「天元術即借根方」的觀點時，採取的方式是「以天元術解借根方」。然而，到了南秉吉、南秉哲與李尚的時代，即便依舊視借根方等同於天元術，但在先掌握了借根方的情況下，從南秉吉的《緝古演段》、《無異解》到南秉哲的《海鏡細艸解》，不斷地出現「以借根方解天元術」的相反情形。後來，在了解了天元術後，借根方等同於天元術的信念逐漸動搖，最終更澈底將兩者區分開來，並在比較優缺下，視天元術為較佳的解題選擇。這段借根方與天元術的「對話」，在知識論的面向，展現了豐富的面貌。另外，中韓間的交流在這段「對話」中亦扮演著相當重要的角色。除了借根方與天元術的知識本身外，中國面對借根方與天元術的觀點亦深受韓國算家的注意。或是先入為主地接受《赤水遺珍》的「天元一即借根方解」，或是對李銳「相消法與借根方兩邊加減則有異」的論述大肆踏伐。最後，更是在《數書九章》與《四元玉鑑》的影響下，最終確立了天元術優於借根方的觀點。在這段中韓的交流當中，韓國雖明顯處於文化入超國的地位，但絕非單純地接受。因此，在整個借根方與天元術的發展裡，仍可不斷地發現其自主發展(autonomous development)而產生轉化(transformation)的情形。本論文將從南秉吉的《緝古演段》出發，延伸至整個南秉吉時代的相關著作，並在中國算學書籍的配合下，勾勒出此時借根方與天元術的發展全貌。
從程序性知識看《算數書》
(國立臺灣師範大學研究發展處, 2005-04-??) 洪萬生; Wann-Sheng Homg
在本文中，我打算運用『程序性知識』的面向來考察《算數書》的內容。過去數學史家曾運用『算則』，來刻畫中國古代數學的特色。現在，『程序性知識』則出自數學教育，我們因而可以援引數學教育的研究成果，來豐富我們對於中國古代數學特徵的理解。其實，『數學史研究』與『數學研究』固然可能彼此互惠，同理，『數學史』與『數學教育』當然也可以互相發明。基於此，我將根據數學教育專家的論述，舉例說明程序性知識 vs. 概念性知識，以及此一『對比』如何關聯到數學論證上。然後，我們針對《算數書》中的幾個問題及其解法，來檢視它們如何與程序性知識相關連。特別地，我也將試著運用Eddie Gray & David Tall所謂的『程序成概念』，以說明某些『術曰』所呈現的知識類型。最後，我們再從此一角度，考察這些『術曰』中涉及的數學論證之類型。
我們還可以為TJMT 做些甚麼
(台灣數學教育學會、國立臺灣師範大學數學系共同發行, 2005-06-??) 洪萬生
《拾璣算法》初探
(2014) 張功翰
十七世紀~十八世紀的日本，是和蓬勃發展的日本，當時和算流派眾多，而其中又以「算聖」關孝和為始祖的「關流」最為大宗。關流獨門的「點竄」、「諸約術」、「綴術」等等算法都非常具時代的代表性，而關流更以「免許制度」激勵門人發展學習更為深入的數學，並且保證讓自己的獨流數學知識不外傳。因此，雖然關流有著跨時代的數學成果，但是卻內斂的讓自己人切磋，未能讓整個日本共享。本篇《拾璣算法》正是打破這個窠臼的一本劃時代的和算文本，其作者為「大名和算家」有馬賴徸，《拾璣算法》裡面敘述了關流秘傳「點竄」、「翦管」、「綴術」、「招差」等等，並正式公開出版，讓關流的數學得以公開普及。《拾璣算法》中有五章共二十個單元、一百五十個問題，筆者在本書中將各個主題做研究及闡釋，並舉一個至兩個原文本的題目作為說明，在文本之後，筆者將個主題和關流或當代著名文本之間做連結，也將文本中各主題的特色做歸納，以期讓以後研究者能更方便著手。《拾璣算法》並非教科書，是故其中除了「點竄」單元之外，其餘內容並未對主題作解釋，而是僅只列出主題，而後再佐以經典題型，而術文中同樣的，除了「點竄」之外，其餘主題的解答均為「解曰」亦即僅為「計算過程」或是「公式」，是故解答內容精要簡單，但要推知其意卻略有難度。從《拾璣算法》初探中，我們可以綜觀的窺知關流數學的各種顯要內容，並對其題意和題解作分析比較，而筆者每每研究出題解原意後，便不禁對其奧妙之處擊掌喝采，對於數學研究探討有興趣之人，《拾璣算法》絕對是一個好選擇。
擬正則映像與Royden代數
(國立臺灣師範大學研究發展處, 1981-06-??) 洪萬生
Given two arbitary domains G, G' in Rn (n ≧ 3), L.G. Lewis proved that G and G' are quasi-conformally equivalent if and only if their Royden n-algebras are isomorplic. In this article, the analagous results are established for quasi-regular mappings. The author proves that (1) if F:G→G' (G'=F (G) ) is quasiregular, then the Royden n-algebra Mn (G') C 1 (G') can be imbedded into the Royden n-algebra Mn (G) as a subalgebra; and (2) if Royden p-algebras (p≧l) MP (G') and MP (G) are isomorphic, then F is a Qp-mapping. The special case p=n for (2) gives the coverse result of (1).
教改爭議聲中，證明所為何事？
(國立臺灣師範大學研究發展處, 2004-04-??) 洪萬生
從1980(年)開始，解題、溝通與連結等數學能力，一直是數學教育努力的目標。而支撐這些能有的基本因子，就是數學論證能力。在本文第二節中，作者，如何『貼近』一些古代文本，以免陷入邏輯謬誤而不曾察覺。譬如說吧，美國加州公立學校學學架構中的幾何命題之邏輯順序安排，在歐幾里得《幾何原本》的脈終下，就犯了循環謬誤。然後，在第三節中，作者進一步論述『視覺直觀』與『演繹論證』之間的折衷可能性，至於具體策略則可仿Freudenthal/Hanna & Jahnke所主張，設法從圍繞幾何學中那些根本且有啟發性的應用面向，研擬出幾個『小理論』來。而在這些『小理論』的『局部組織』內，邏輯的嚴密性當然可以得到適當的照顧。再者，作者將在HPM的脈絡下，從貼近一些歷史經驗來尋找處理『證明』的出路，譬如在本文第四節中，我們所引述的Chairaut改編《幾何原本》時所注入的『發明的順序』之進路，乃至於劉徽的圓面積公式之『證明』等等，都說明了歷史經驗之可貴。因此，由本文論述來看，『證明』在數學教育過程中，不僅在於它的邏輯或論證『說明』，更重要的，應該是它對數學知識的『說明』功能，原本是數學教育工作者不應輕忽視之教育目標，在教改爭議聲中尤其更應有所堅持才是。