學位論文
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Item 關流算學研究及其歷史脈絡:1722-1852(2014) 黃俊瑋本論文主要以關流重要和算家的著述作為一手文獻，輔以近人研究成果，探討關流和算家的重要算學研究成果與特色。研究中先將十七世紀至十九世紀約莫250年間的和算發展分成七個時期，並著重於涵蓋1722年《綴術算經》刊刻至1852年日本開國前的三個時期，再從社會史以及知識史的角度切入，論述這期間的算學發展與歷史脈絡，以及和算發展過程中所展現的專業化與制度化特色。 隨十八世紀中期後關流和算公開、走向普及，期間由於多位掌權者以及時人對於數學這門學問的重視與推崇，彰顯數學學問的重要性－包含實用面向的算用與智性面向的算術。再者，和算家得以因數學才能受聘任職藩校之算學師範，晉升武士提升了社會地位，或者開設算學道場（私塾）維生。藩校、算學道場以及各和算流派為和算家從事數學教學與數學研究的重要機構，和算流派亦是當時最重要的數學研究團體。而設題究術、著述算書以及算額奉納為和算家發表數學研究的重要方式，透過流派內部對數學著作與知識進行整理與選擇，加以免許制的設立，顯現算學成為專門之學，並也負載了知識的保存與傳承的目的。1722-1852年這130年間和算也由武士階層領導的流派祕傳專學漸轉向由農、商、庶民階層引領的普及化和算教育與習算風氣。 設題、究術、求數、探法、造表是和算研究的主要核心，研究中透過對文本的考察與分析，著重1722-1852年間諸表與開方、綴術、級數和、圓理之間的關連與發展，並以《圓理算經》之圓理八問為架構，對這一時期關於求直線、周、背、面積、體積、穿去積以及極數術等圓理問題之發展，作一系統性地論述。除了豐富多元的圓理問題、精益求精的術文與數值解外，這期間和算研究上有三大突破，首先，和算家以綴術形式表示出代數與幾何（圓、弧、矢、弦、面積、體積、穿去積等）相關展開式。再者，和算家創製諸多涉及無窮和、無窮展開式之表，作為重要解題與認知工具，同時，他們透過「分割－檢表得微元－檢表展開－檢疊表求和－得術」之和田寧積分法，重解各類圓理舊問題並解決新問題。 由於和算文本的豐富性，本研究亦從知識論文化的觀點，探討和算文本在「問題、術、數、表及知識價值」所呈現的特色。和算的研究主要以設題、究術與求數為主要核心，藉由遺題繼承、算額奉納等外在之社會文化因素與以及內在知識需求的驅使從事數學研究。和算家藉由舊問題的修改、一般化與推廣、幾何元素的新重組合、新概念的融入以及病題明致，設計多元而豐富的新問題。一方面排除「病題」，並偏好「可解」且其解「存在、合理且唯一」的問題。他們基於「正、真、括(通)、(簡)捷、親(密)」等數學知識價值，透過據理探與據數探的方式，尋求問題的適當答案。在一題多解與舊題新解的文化下，和算家傾向精緻化舊有問題的答案－排除各類邪術或迂遠術。他們追求正確或更精確的數值作為問題的答案，同時以合乎正確性的術文、更加簡捷的術文、易於實作與便於快速計算的術文、求數精確性與收斂性更佳的術文、更具概括性、一般性、抽象性的術文，作為主要數學知識的需求與目標。在此設題、探術與求數的數學知識活動中，相輔相乘地引發新方法、新工具與新概念的誕生與發展。 最後回顧關流與最上流間的論戰，改病題、去邪術、迂遠術，乃至精要原則下的術文字數比較，是兩造和算家從事算學論戰所據之重要數學價值與競技標準。這也反應出數學知識的社會性與脈絡性，和算研究與相關知識受當時代社會、文化乃至社群中的規約、知識標準與價值觀所影響，展現出別於西方數學與中算的風格與特色。Item 安島直圓《不朽算法》之內容分析(2013) 王裕仁本篇論文藉由《不朽算法》探討安島直圓(AjimaNaonobu，1732-1798)的數學成就，以及對往後和算的影響。安島直圓生前著作有42部，卻沒有一件正式出版，辭世隔年，由弟子日下誠，蒐集生前部分著作彙整而成《不朽算法》上、下兩卷。 筆者在細讀其作品後發現，安島直圓在《不朽算法》上卷中有多達九題討論關於「累圓」問題的一般解，這對於當時的數學技術說比較困難；以及以自創的割圓術解決「圓柱穿空圓術」問題，在此筆者提出異於一般學者認為：安島直圓在求解的過程中，涉及「二重積分」。這類型的穿去問題影響往後和算家的研究方向。 除此之外，在《不朽算法》下卷中，也可以發現安島直圓利用和算的方法創造「指數表」，雖然等價於《數理精蘊》中的「對數表」，功能也是在於開高次方，但能以和算固有形式，創造新的學問，對於當時日本人而言是比較有利於學習。Item 松永良弼《方圓算經》之內容分析(2012) 王燕華《方圓算經》於1739年成書。當時日本社會在德川幕府封建統治下，呈現統一和平的風貌，產業、教育、文藝等十分繁盛，日本學術界稱此時期為「文藝復興」。當時各種藝道不僅讓上層社會接受，也為下層庶民所分享，如茶道、花道、劍道、武道等。其中和算被視為「算道」，以藝道的形式生存與發展，因而數學流派林立，名家輩出。當時和算還有一些獨特的現象，例如家元—免許制、遺題繼承、算額等。在關孝和與建部賢弘等江戶初期和算家的開拓下，和算改變江戶初期實用算術的風格，學術性、藝道性日益增強，而呈現脫離中國數學知識體系而獨步發展之態勢。江戶初期和算家的數學成果奠定了整個江戶時代和算的基礎。 松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，1692?~1744)是關流第二代宗統傳人，對和算與關流貢獻良多。筆者在貼近當時的社會歷史脈絡下，詮釋和算史實，全面深入分析《方圓算經》。《方圓算經》共五卷，卷首闡述抒發數學哲理與啟發，松永接著以抽象的陰率、陽率、應率、唱率與太陰率等率，融入其後四卷的無窮級數公式，包含圓周長、弧背、矢、弦、弧田積、角中徑、距面斜弦、平中徑、角面、距面矢、利用太陰率推導方垛積等三十個公式。概括之，《方圓算經》談論圓、正多邊形以及兩者所形成的數學內容。 分析《方圓算經》的內容，發現松永承襲先人的數學成果並拓廣、突破與創新。本書可以說是松永最突出的作品。在這本書中，松永充分展現他的數學思想，精益求精的計算能力，以及不斷提升「算道」的風格。Item 關孝和《三部抄》之內容分析(2012) 林典蔚17世紀中至18世紀初為日本封建文化最繁榮時期，史稱「元祿文化」，而這個時期也被日本學術界稱為「文藝復興」。和算也在這個時期產生飛越式的進步，從延寶（1673～1681）至寶歷（1751～1763）約一百年間最出色的數學家莫過於關孝和。關孝和出生於群馬縣的武士家庭，後侍奉德川綱豐而成為幕府武士，因師從毛利重能且曾廣泛涉獵中國數學因而成為傑出的和算家之一，被日本人譽為「算聖」。 本論文分析的書目《三部抄》共分為〈解見題之法〉、〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉三部份，本書之重要性在於建立「傍書法」的文字代數方法與所謂「演段法」的消元結構。經內容分析後，筆者認為《三部抄》的題例與結構類似於現代的數學教科書，因此可說是關流數學知識基本框架內以及數學知識傳承中所規定的最基本數學內容；此外將關氏的與萊布尼茲的行列式相關的文獻比較後筆者認為從時間、性質、算則上來看，關孝和應為行列式算則的創始人。Item 松永良弼《方圓雜算》之內容分析(2013) 林建宏《方圓雜算》成書時間約在1739年左右，已是江戶時代(1603年—1867年)中期。德川幕府第四代將軍德川家綱繼位時僅11歲，許多諸侯不滿其統治，常發生叛變與暴動。德川家綱為了避免這類事件，下令將幕府機構整備的更加完善，把前三代將軍所施行的武力政治改為文治政治，是德川幕府安定期的起始點，也是日本學術界所稱的『文藝復興』時期。在產業部分，生產力的提升造就了經濟繁榮；在文藝方面，社會安定，各階層的人開始專注於各種技術，於是有「藝道化」的產生，如茶道、劍道、花道、…，其中還有關於和算的「算道」；在教育方面，因為人民經濟的穩定，使人民開始重視孩子的教育，私塾教育造就了許多流派，在和算部分有家元—免許制。此時和算時期流行寺廟的算額和遺題繼承，在社會中促進了各和算家深入研究數學，把數學推向更高等的數學研究，也擺脫了中國數學知識體系，發展出屬於日本文化的和算。 松永良弼(1692?~1744)，曾師承關孝和的正統傳人荒木村英，也是關流的第二代傳人，對和算貢獻良多，主要在於圓理的發展，繼承了建部賢弘在圓理上的成就。松永在圓理上的著作，除了較有名的《方圓算經》外，亦還有《方圓雜算》一書，兩書同為處理圓理的書籍，雖皆有角術、圓周率、弧背率等內容，然而兩書內容確差異頗大，沒有太大的關聯性。此外，《方圓算經》編排嚴密，章節明確，術文彼此間關聯不大，像是一本公式書；而《方圓雜算》編排雜亂，沒有章節的分隔，但術文間有密切的關係，像是一本理論書。筆者認為《方圓雜算》可能是松永在《方圓算經》完成後，想進一步用不同的方法探索圓裡的一本書，此書的主軸是「相似形」，書的前半卷松永利用「相似形」搭配已知的性質，如合分比、開平方、托勒密定理，發展出許多的幾何性質，部分幾何性質有其功用，如求累斜數、求逐斜矢術，部分幾何性質純粹得到關係式，如累斜勾股適等標。松永試圖利用「相似形」接著處理角術、圓周率、弧背數，雖沒有成功，但松永的想法由後面弟子安島直圓傳承下去，為關流的原理開創了另外一條道路。 此書以一個主軸「相似形」發展圓理，這種以單一概念延伸出如此多性質的研究，是當時和算家少見的，這種針對主要目標，一步一步往目標前進的研究精神，宛如現在數學家解決問題的模式，展現出松永在《方圓雜算》想法的獨特性。此外，松永《方圓雜算》中，擺脫了傳統的「問-答-術」模式，整本書中除了累斜數與圓中容角兩處有提供數據運算外，沒有出現任和數據，是一本以代數式模式做推理與運算的書，不是傳統的「算術書」，而是一本純理論的「代數書」，需要有更抽象的思考模式，已擺脫傳統的「算術」，進入以符號為主的運算，亦顯示出《方圓雜算》擺脫中國傳統數學的獨特性。Item 建部賢弘之研究－以《綴術算經》為例(2013) 林美杏日本江戶時代（1603~1867）的傳統數學－和算，以關流為主流。關流的創始者為關孝和（1642？~1708），而建部賢弘（1664~1739）是關孝和的重要弟子，也是關流中重要的建設者，在近二十年成為研究和算的史學家們所關注的焦點。《綴術算經》（1722）正是建部賢弘關於其數學研究之集大成作品，書中除包含了開頭與結尾的自序和自質說，以及探法則四條、探術理四條與探員數四條等十二個數學問題的討論，還涵蓋諸多重要的算學研究成果，是建部賢弘重要研究的總結。建部賢弘站在高觀點去看數學，善於從複雜的現象中發現問題的本質，找出潛藏在問題背後的法則，並以自身的經驗提出學習、研究算學之原則，亦論及人的資質差異之於學習算學之態度。除了其算學研究上的成就之外，建部賢弘的種種數學觀與教育觀，亦發人省思，值得探討。從該書中，我們除了可以一窺建 部數學知識之淵博與創新外，其中隱含的教學想法，更是與國中數學教學的引導與探索理念不謀而合。 本研究根據徐澤林譯注之《和算選粹》中的《綴術算經》，透過文本分析與歷史敘事的方式，一方面對第一手文本作深入研究，同時，綜合目前與建部賢弘或《綴術算經》相關的二手研究成果。透過本研究，我們能更瞭解《綴術算經》的體例風格與建部賢弘對於數學知識分類及數學研究之看法，並重新釐清建部賢弘在《綴術算經》中具原創性發展的數學知識，以及與其師關孝和相較之下，在算學研究上有所突破之處。這些都可為建部賢弘以及其算書，提供更多元而豐富的論述。更重要的是，透過《綴術算經》中反映的教育思想，結合HPM 的觀點，研究者希望對於今日之中學數學教學有所啟迪。Item 《算法新書》初探(2016) 陳政宏; Chen, Cheng-Hung《算法新書》是幕府末年相當重要的和算書之一，其為長谷川數學道場的一本數學教科書，全書共五卷，作者為千葉胤秀，此書相當獲得好評，在明治之後還有再版。本文的目的其探討《算法新書》記錄了什麼數學內容，並且與其他和算書比較，以其教科書的目的，如何介紹及系統整理和算知識，而其編排、體例、架構，也有別於其他和算書。 本研究主要是研讀一手文獻並分析內容的方式來進行，輔以二手文獻的參考，其中，一手文獻是查閱收藏於日本東北大學的善本書（電子版）；二手文獻包括《和算選粹》、《和算中源》、《和算の事典》、《江戶の寺子屋入門》等等。 研究結果發現，其卷一主要介紹算盤的使用方式，卷二的數學問題多為民生日用問題為主，主要內容包括比例式的運算及利用珠算求平方根（半九九法），並且有對面積及體積公式進行整理亦有證明其公式。卷三開始介紹天元術及點竄術，其內容從算術變成代數，甚至利用代數方式解決卷二當中的題目，能夠讓學習者了解到代數之於算術的便利性。卷三後半為諸約術的介紹。卷四主要在說明招差、衰垛及綴術，並且有對綴術公式的求法做詳盡的解說。卷五為和算最高的問題「圓理」，一樣做了詳盡的解說，並創了奇除表、偶除表、奇乘表、偶乘表等類似於現今的積分公式。 經筆者研究發現，對整體而言，《算法新書》具有以下七點特色：第一點，編排順序具有層次；第二點，對多數和算名詞提供定義；第三點，解題過程除了術曰，亦有「解曰」，用來說明其術文公式的原理；第四點，擁有較多的「圖解」能讓學習者不會困惑於抽象的數學概念；第五點，有統整歸納，會將相關的式子放進行比較；第六點，在進行代數計算時，會在式子旁邊標示小記號，說明式子演變的過程；第七點，訴諸學習者的直覺，許多說明的地方，千葉胤秀僅以一句話帶過去，希望學習者直覺式的思考。鑒於以上七點，均可看出《算法新書》其為數學道場教科書的定位。