關流算學研究及其歷史脈絡:1722-1852

Abstract

本論文主要以關流重要和算家的著述作為一手文獻，輔以近人研究成果，探討關流和算家的重要算學研究成果與特色。研究中先將十七世紀至十九世紀約莫250年間的和算發展分成七個時期，並著重於涵蓋1722年《綴術算經》刊刻至1852年日本開國前的三個時期，再從社會史以及知識史的角度切入，論述這期間的算學發展與歷史脈絡，以及和算發展過程中所展現的專業化與制度化特色。

隨十八世紀中期後關流和算公開、走向普及，期間由於多位掌權者以及時人對於數學這門學問的重視與推崇，彰顯數學學問的重要性－包含實用面向的算用與智性面向的算術。再者，和算家得以因數學才能受聘任職藩校之算學師範，晉升武士提升了社會地位，或者開設算學道場（私塾）維生。藩校、算學道場以及各和算流派為和算家從事數學教學與數學研究的重要機構，和算流派亦是當時最重要的數學研究團體。而設題究術、著述算書以及算額奉納為和算家發表數學研究的重要方式，透過流派內部對數學著作與知識進行整理與選擇，加以免許制的設立，顯現算學成為專門之學，並也負載了知識的保存與傳承的目的。1722-1852年這130年間和算也由武士階層領導的流派祕傳專學漸轉向由農、商、庶民階層引領的普及化和算教育與習算風氣。

設題、究術、求數、探法、造表是和算研究的主要核心，研究中透過對文本的考察與分析，著重1722-1852年間諸表與開方、綴術、級數和、圓理之間的關連與發展，並以《圓理算經》之圓理八問為架構，對這一時期關於求直線、周、背、面積、體積、穿去積以及極數術等圓理問題之發展，作一系統性地論述。除了豐富多元的圓理問題、精益求精的術文與數值解外，這期間和算研究上有三大突破，首先，和算家以綴術形式表示出代數與幾何（圓、弧、矢、弦、面積、體積、穿去積等）相關展開式。再者，和算家創製諸多涉及無窮和、無窮展開式之表，作為重要解題與認知工具，同時，他們透過「分割－檢表得微元－檢表展開－檢疊表求和－得術」之和田寧積分法，重解各類圓理舊問題並解決新問題。

由於和算文本的豐富性，本研究亦從知識論文化的觀點，探討和算文本在「問題、術、數、表及知識價值」所呈現的特色。和算的研究主要以設題、究術與求數為主要核心，藉由遺題繼承、算額奉納等外在之社會文化因素與以及內在知識需求的驅使從事數學研究。和算家藉由舊問題的修改、一般化與推廣、幾何元素的新重組合、新概念的融入以及病題明致，設計多元而豐富的新問題。一方面排除「病題」，並偏好「可解」且其解「存在、合理且唯一」的問題。他們基於「正、真、括(通)、(簡)捷、親(密)」等數學知識價值，透過據理探與據數探的方式，尋求問題的適當答案。在一題多解與舊題新解的文化下，和算家傾向精緻化舊有問題的答案－排除各類邪術或迂遠術。他們追求正確或更精確的數值作為問題的答案，同時以合乎正確性的術文、更加簡捷的術文、易於實作與便於快速計算的術文、求數精確性與收斂性更佳的術文、更具概括性、一般性、抽象性的術文，作為主要數學知識的需求與目標。在此設題、探術與求數的數學知識活動中，相輔相乘地引發新方法、新工具與新概念的誕生與發展。

最後回顧關流與最上流間的論戰，改病題、去邪術、迂遠術，乃至精要原則下的術文字數比較，是兩造和算家從事算學論戰所據之重要數學價值與競技標準。這也反應出數學知識的社會性與脈絡性，和算研究與相關知識受當時代社會、文化乃至社群中的規約、知識標準與價值觀所影響，展現出別於西方數學與中算的風格與特色。