高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究

Abstract

本研究探討高一學生關於「多項式的除法原理」之概念心像。本研究的研究方法為描述性研究（descriptive research），利用問卷與訪談的方式，蒐集質與量的資料。以歸納分析（inductive analysis）的方式進行質的資料之處理，也搭配量化的研究信念，提供較客觀的分析數據與報導。 研究抽樣採立意取樣（purposive sampling），包括79位中高程度學生（會考積分約28.6分，基測 PR 值約90），與77位中程度學生（會考積分約20.6分，基測PR值約80），共計156位大台北地區高中一年級學生。 本研究的研究結果與發現，主要有以下8項： 1.高達62%的學生對於「多項式」之概念心像並不是建立得很完整，其主要認為常數（如−5、0、5）不是多項式，或認為分式（如7+6/𝑥）也是多項式的一種。 2.不到1成的學生知道「餘式次數<除式次數」與「餘式<除式」是不一樣的意思，有46%的學生會將「餘式<除式」中符號「<」解讀成「次數」的意思。 3.約10%的學生在面對「商式𝑞(𝑥)及餘式𝑟(𝑥)之間的關係」時（問卷第 6、7、8、9 題），認為其之間的關係為「餘式𝑟(𝑥)的次數必定小於商式 𝑞(𝑥)的次數」，對於「餘式的限制條件」之概念心像與概念定義有明顯的落差。 4.能將數學式「被除式𝑓(𝑥)÷除式𝑔(𝑥)=商式𝑞(𝑥)⋯餘式𝑟(𝑥)」主動轉成恆等式「𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⋅𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥)」的學生有 8 成，但只有約38%的學生知道「𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⋅𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥)」與「𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)= 𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥)/𝑔(𝑥)」是等價關係，與「𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)=𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥)」不是等價關係。 5.約21%的學生認為「被除式𝑓(𝑥)÷除式𝑔(𝑥)=商式𝑞(𝑥)⋯餘式𝑟(𝑥)」和 恆等式「𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⋅𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥)」與「𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⋅𝑞(𝑥)⋯𝑟(𝑥)」代表相同的意思，對於什麼時候該「⋯」，什麼時候該「+」是不清楚的。 6.約82%的學生在程序性的「長除法」運思中，可以正確知道除到哪一步才該停，有符合「餘式 = 0或餘式次數<除式次數」。能將長除法的運算連結到「餘式 = 0或餘式次數<除式次數」此概念的學生中，「中高程度」比中程度高出約16%，顯示兩所不同程度學校的學生在「長除法的運思」是有明顯的差別。 7.學生面對「多項式的除法原理」這一個概念名稱的刺激下，腦中主動擷取的概念心像主要有 3 類：「除法」（約72%）、「各式間的關係」（約48%），以及「次數」（約22%）。其餘有「多項式除法原理的用途或限制」、「多項式」等概念心像。其中，能喚起「各式間的關係」此概念心像的學生，「中程度」比中高程度多出15 %；能喚起「多項式除法原理的用途或限制」此概念心像的學生，「中高程度」比中程度多出11%。 8.從整份問卷作答來看，「中高程度」的學生浮現的概念心像較符合概念定義，正確性較高，但概念心像的穩定性較低。相反地，「中程度」的學生浮現的概念心像較不符合概念定義，正確性較低，但概念心像的穩定性較高。