摺紙對國三學生建構幾何堆裡證明的影響

Abstract

證明是人類發展數學思考和學習邏輯演繹推理的工具之一。然而，卻也是學子們學習數學的大關卡之一，不知證明如何開始，及如何建構輔助線一直是學生的困惑。本研究以尚未正式學習幾何證明的52位國三學生為樣本，利用兩階段的摺紙操作活動讓學生發現弦切角的大小並完成形式化證明，透過《數值操作單》、《符號操作單》、和學生在學習單上四個問題的問答，探討摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響。研究工具設計讓學生能夠使用不同的摺紙方法，從實際數值開始再逐步抽象到數學符號表徵，自己推導出弦切角角度大小和弦及切線所夾弧度之間關係，並對此做出形式化證明。研究結果顯示，操作單及其上的圖形所提供的示能性，讓學生對其進行操作，摺紙的過程可能是有目標性的操作或可能是無目標性的操作；內部心理歷程和外部動手操作會交互影響，直到學生得到可行的解題想法；輔助線的出現有時不全然是操作單上已出現的摺痕，但此輔助線的出現或消失是受原摺線的影響；在實際數值探索階段看似多餘的摺線，可能引動學生在符號形式探索推理階段的思考；摺紙操作不僅增加了學生數學課堂的參與度，也讓學生跨出了建構輔助線的第一步。在摺紙過程中，學生反覆進行了內部和外部的探索歷程，將摺紙的操作動作和次序，轉換成形式化證明的邏輯推理和步驟。