Congruence Properties from Fish Numbers

Abstract

在2016年，Duchi提出了一個新的組合結構叫做Fighting Fish, 其個數為$rac{2}{(n+1)(2n+1)}inom{3n}{n}$, 並且在文章中有提到Fighting fish with marked tail的個數為$rac{1}{n}inom{3n-2}{n-2}$, 在2019年，$k$-indivisible noncrossing partition 這篇文章從noncrossing partition 的觀點將一般情形的noncrossing partition 推廣成每個cycle的長度都是$kn$+1的形式，在這種建構方式下，可以算出這種 $k$-indivisible noncrossing partition的個數是$rac{2}{N+1}inom{N+n}{n}$, 其中 $N=kn+1$, 我們觀察到當$k=2$ 時，數列是 $rac{1}{n+1}inom{3n+1}{n}$ 跟 Fighting Fish with marked tail 一樣。此外，$k=1$ 會是Catalan number, 而Catalan number 的數論性質在1973年於 Prime and Prime Power Divisibility of Catalan Numbers 有很多結果。這篇論文主要探討的是 $rac{1}{n+1}inom{3n+1}{n}$ 的數論性質，因為知道是Catalan number的推廣。以此為起點，我們去探討這個數列的數論性質，在第二章主要結果是數列的奇偶性 (i.e. mod 2 is 1 or 0), 接著推到mod 3 的情形。另外，在第三章考慮數列mod $p$後連續0的個數。none