二次體中的 class number 與 Dirichlet 的 L 級數

Abstract

在本論文中，我們完整的證明了Dirichlet’s theorem。另外，我們針對在Quadratic fields中的L-series作研究，寫成許多不同的形式。利用L-series在s=1時的不同形式可推導出class number的一些公式。由class number最後推導出的公式可看出quadratic residues和quadratic nonresidues的個數在區間 (0,p/2) 的分布情形。最後，我們給了一些在quadratic fields中，L-series在s=1時，用不同的character代入所得到的特殊值。

In this thesis, we first review some well-known results about the Dirichlet characters and L-series. Then we give an elaborate proof of Dirichlet's theorem. Besides, we are interesting in the formulas of L-series associated to the quadratic fields. Then we compute class numbers of quadratic fieldswith L-series at $s=1$ and the Gaussian sum. In the end, examples of L-series at $s=1$ are given.