排列組合與古典機率的相遇-高二學生等機率偏見之探討

Abstract

本研究的主要目的是透過評量工具，瞭解高二學生處理「重複排列」、「重複組合」、「不完全相異物的部分取」與「不完全相異物的全取」四種不同情境的機率問題的求情況數與求機率值的答對率及解題策略。進而探討受試者在處理樣本空間中每個元素出現的機會「均等」與「不均等」兩種不同類型的機率問題的答對率及解題策略，是否有顯著不同。最後透過量的分析與半結構式訪談的方式，探討受試者在「樣本空間中每個元素出現的機會不均等」的情況下，是否存在等機率偏見、進而有誤用Laplace古典機率的情形。 本研究的方法乃是藉由設計機率試題問卷來探討學生的解題策略和錯誤類型，並且輔以面談的方式找出錯誤類型背後的錯誤原因。而本研究的樣本乃是選取台北市的一所高中高二共七個班級，學生程度約為國中基本學力測驗成績225分左右的學生。共計256個學生。 本研究的主要結果為： 一 1、學生在解與「重複排列」相關情境求情況數與求機率值的答對率都 在七成以上；在解與「重複組合」相關情境求情況數的答對率在七成以上，但在解與「重複組合」相關情境求機率值的答對率卻驟降至二成五；在解與「不完全相異物的部分取」相關情境求情況數的答對率約有五成，但在解與「不完全相異物的部分取」相關情境求機率值的答對率卻驟降至一成；在解與「不完全相異物的全取」相關情境求情況數的答對率約有四至五成，在解與「不完全相異物的全取」相關情境求機率值的答對率約為三成。 2、學生在處理「重複排列」、「重複組合」、「不完全相異物的部分取」、「不完全相異物的全取」四種情境求機率值時主要的解題策略是：以樣本空間中所有情況的排列數或組合數為分母、所求情況的排列數或組合數為分子，所算出的比值即為答案。 二 1、學生在處理樣本空間中每個元素出現的機會「均等」與「不均等」兩種不同類型的機率問題的答對率，有顯著不同。只有三成的學生在求「不完全相異物的部分取」與「重複組合」兩大主題相關情境的機率問題時，注意到樣本空間中每個元素發生的機會是不均等的 因而算對機率值；另外約有七成五的學生在求「不完全相異物的全取」與「重複排列」兩種情境的機率問題時算對機率值，答題的答對率，明顯高於求「不完全相異物的部分取」與「重複組合」兩種情境機率問題的答對率。 2、約有七成的學生在處理樣本空間中每個元素出現的機會「均等」與「不均等」兩種不同類型的機率問題的解題策略，沒有顯著不同。無論是在處理樣本空間中每個元素出現的機會「均等」或「不均等」兩種不同類型的機率問題時，都直接拿樣本空間中的所有情況數當分母、所求情況的情況數當分子，所以在求機率值的解題策略上，並沒有顯著不同。 三 1、約有七成的學生在「樣本空間中每個元素出現的機會不均等」的情 況下誤用Laplace古典機率，發生等機率偏見的情形。 2、學生不了解「算機率時，要將相同的東西視為不同」的原因及這句話背後隱含的概念，導致算題目時有時候會忘了這個原則因而發生分子分母求情況數不同調的情形而求出錯誤的機率值；進一步更不知道「不完全相異物的全取型」算機率時，為什麼將相同的東西視為相同物或不同物，都可算出正確的答案。

最後根據本研究的研究結果，提出有關在數學教學、課本內容編寫與未來研究之建議，以作為教師在排列組合與機率單元的教學、編書者及往後研究者之參考。