學位論文
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Item 變異型態的最小最大定理(2002) 蔡其南; Chi-Nan Tsai所謂兩個函數的最小最大定理(minimax theorem) , 是指在給定的兩個集合$X$ 和 $Y$ 中 , 研究定義在 $X imes Y$ 上的兩個實值函數 $f$ 和 $g$ , 是否可以得到下列不等 式 $$inf_{yin Y}sup_{xin X}f(x,y)leq sup_{xin X}inf_{yin Y}g(x,y).$$ 此篇論文將做進一步推廣 , 主要的推論有三層 :\ (1) 根據Lin和Yu的研究論文 : Two Functions Generalization of Horvath's Minimax Theorem, 我們將推廣出一些不需要凸性的最小最大定理. vspace{1cm} (2) 打破一般關於兩個函數的最小最大定理中所規定 $f$ 必須嚴格小於或等於 $g$ 的條 件 , 取而代之的是 $$sup_{xin X}f(x,y)leq sup_{xin X}g(x,y), orall yin Y.$$ 當然 , 其中的兩個函數需稍作限制 , 包括 : 兩個函數形成聯合向上($jointly\nupward$) 函數關係 , 以及它們所形成的上集合($upper set$)必需為連通的$dots$ 等. vspace{1cm} (3) 有時候在某個定義域上兩個函數的最小最大定理不會成立 , 但是若在此時稍微限制定義域的範圍後 , 最小最大定理便可以成立了 ! 於是我們利用了多值函數的一些性質 , 定義$X$- 擬凹集合 , 推廣出在多值函數上的最小最大定理 , 而得到下列變異型態的最小最大不等式 $$inf_{yin T(X)}sup_{xin T^{-1}(y)}f(x,y)leq sup_{xin X}inf_{yin T(x)}g(x,y).$$ 其中 , $T$ 為由 $X$ 對應到 $Y$ 的多值函數 , ${g}$ 則是相應於 $T$ 的$X$- 擬凹集合.Item 抽象展發方程之探討及其應用(2002) 趙國欽本文主要目的是探討抽象展發方程 (1)的解之存在性、唯一性、漸進行為與其應用。其中，算子族 在Banach空間 生成一個 -evolution system。第一章先介紹一些相關被景與預備知識。 第二章提出一些關於抽象展發方程(1)的mild solution存在性與唯一性之充分條件。在第二章為基礎下，第三章討論一些關於抽象微分方程(2)的classical solution存在性與唯一性之充分條件。其中算子 在Banach空間 生成一個 -semigroup。另外，在本章亦討論關於抽象展發方程(1)的Y-value solution存在性與唯一性之充分條件。 第四章主要討論抽象展發方程(1)在那些適當的條件下，其解將滿足conditional stability的漸進行為。若抽象展發方程(1)中算子族 在Banach空間 生成一個 -evolution system時，第五章描述另外一些適當的條件下，其解將滿足conditional stability的漸進行為。 在每章的最後一節都呈現一些例子。這些例子皆為該章節的應用。Item 布題語句與情境對高中生解加法、乘法原理題目之影響(2002) 黃文慶摘 要 本研究的目的是探討高中生在學習排列組合單元中之加法原理與乘法原理時，常見的生活情境與布題語句對解題的影響其學習前和學習後的想法，其中所欲探討的是高中生解加法原理和乘法原理為何。 本研究的樣本是860位高中二年級的學生；研究的方法主要是以量的分析來歸納並描述學生的解題想法。所收集到的研究資料為學生在前、後測的開放式測驗卷中所書答案和過程。 本研究的結果中有許多的發現，其中部分結果包括：學生對排列組合中一些差異性的語句無法釐清，如：在不同的情境下對問句「結果」與「情形」的解讀有所差異；語句「不完全」與「完全不」易對學生的解題造成困擾，而經過教學後，對語句「不完全」亦不見明顯的改善等。布題情境與生活的實際情況不能相契合時，會對學生的解題想法造成影響，如：「彩色筆」情境中雖以問句「情形」提問，於教學前、後有二成八及四成六的學生被歸為以「結果」的想法作答；「擲硬幣」情境中，學生對語句「相同」與「不同」的解讀有所不清。生活經驗的不同，若於題目中未加以說明，會對學生的解題造成困擾。Item Item 抽象發展發方程之探討及其應用(2002) 趙國欽; Guo-Chin JanItem Item 中國清代1723~1820年間的借根方與天元術(2002) 林倉億借根方與天元術皆是用以處理一元多次方程式的方法，前者在清朝康熙年間由傳教士所傳入，並載於康熙帝御製的《數理精蘊》中；後者則是在金、元時期發展成熟的中國傳統算學，以金、元算學家李冶的《測圓海鏡》與《益古演段》二書為代表性著作。雖然這兩者所處理的對象相同，但在康熙朝時，清朝算學家已無人能曉天元術，因此，在借根方傳入與流傳的初期，並未有算學家意識到借根方與天元術間關係，直到梅成提出「天元一即借根方解」的說法後，才陸續有許多算學家將這兩者相提並論，也開啟了借根方與天元術間的互動。 1723~1820年間的借根方與天元術的發展和互動，是清朝數學史中至為精彩的部分，算學家們在這兩種方法上所進行的會通、對話，甚至是辯論，不僅反映出當時的學術風氣（乾嘉學派學風與西學中源說）與數學發展（會通中西學與興復古法），更具有豐富的認識論面向。本文將先從今日的角度，對借根方與天元術進行比較，而透過比較這兩者，我們將發現這兩者個別的術語、長處和侷限，確實影響了算學家們對它們的理解，也因而影響了它們在清朝的發展與互動。 其次，在筆者所得見的算書中，此時期載有借根方或天元術的，計有何夢瑤的《算迪》、梅成的《赤水遺珍》、李銳的重校《測圓海鏡》與《益古演段》、《弧矢算術細草》、《句股算術細草》、焦循的《天元一釋》、張敦仁的《緝古算經細草》、駱騰鳳的《藝游錄》、《開方釋例》、安清翹的《學算存略》、張作楠的《量倉通法》、《方田通法補例》、《倉田通法續編》、羅士琳的《比例匯通》，本文將根據算學家在算學著作中所呈現的借根方或天元術內容，分析他們對這兩者的認識及看法。而透過對個別算學家的分析，我們將會看到相同的借根方或天元術，在不同算學家的詮釋之下，展現了不同的風貌，而這是見證了在知識的傳播中，知識接受者並非僅是被動地「複製」知識，相反地，知識接受者本身的固有知識、所處的文化背景，都會對知識接受者產生重大的影響。Item 國二學生線型函數的學習對變數概念發展的影響(2002) 鄭維誠本研究之主要目的探討國二學生線型函數的學習對變數概念發展的影響，希望得到的研究結果能作為教師在教學上的參考，以及發展以學校為本位的數學課程和編寫課程綱要時，也能提供適當的建議。 本研究以台北市立某國民中學二年級全部學生為研究對象，樣本數約為600名。主要是以Anna Sfard（1991）的概念發展理論為依據，自編測驗卷，將線型函數概念、變數概念都分成內化、壓縮、物化三個階層，並在教學單元「一次函數及其圖形」教學前、後施測，調查學生具有的線型函數概念、變數概念，藉以探討國二學生在線型函數的學習前、後，變數概念層次的改變情形為何？變數概念測驗答題類型的改變情形為何？線型函數概念層次的改變情形為何？和國二學生線型函數的學習對變數概念發展是否有關？ 本研究的主要發現如下：「一次函數及其圖形」教學前、後 （1） 學生變數概念有正向的成長。 （2） 變數概念的答題類型在部分子概念有顯著的改變。 （3） 學生線型函數概念有正向的成長。 （4） 線型函數的學習與變數概念的發展，存在正相關。Item 國中生對生活中數量關係之知覺--比例關係之探討(2002) 李家言本研究的目的主要在探討國中生對不同生活情境中的數量關係是否具有比例關係的調查，將生活情境以及學校課程中的內容加以分析、分類，以便了解學生在不同情境下對題目中數量關係的連結。Item 關於變分不等式的輔助問題原理(2002) 蔡佩旻; Pei-Min Tsai輔助問題原理允許我們藉由解決輔助問題的一個數列去尋找最佳化的問題(例如：最小化問題，鞍點問題，變分不等式問題，...等）的解。 根據 Cohen 的輔助問題原理，我們介紹並分析一個演算法來解決一般性的變分不等式 VI（T，C）問題。 為了解決關於一般的非單調算子在自反的巴那赫空間中多值的變分不等式問題，所以在這篇文章裡，近似方法的觀念被介紹而且一個收斂的演算法也被提出。而我們文章的目標就是為了輔助問題原理去建立類似的連結。事實上，這篇論文的要旨有兩層： (1）一般化單調算子的條件之下，以輔助問題原理為基礎， 我們處理演算法的收斂性，例如: pseudo-Dunn property，強偽單調性，$alpha$-強偽單調性，...等。 (2）我們提出一個修改的演算法，在一個缺乏強單調性質的輔助函數條件之下，來解決變分不等式的解之收斂性。Item 國三學生突破因附圖造成之論證障礙的學習歷程之研究(2002) 李宜芬; Yi-Fen, Li本研究探討國三學生作幾何證明時，命題中的附圖所造成的幾何論證障礙，及障礙形成的原因；據此設計相關的探究活動，以小組合作學習方式提供學生充分操作圖形及自行構圖的學習活動，觀察學生在此學習環境下，突破論證障礙的學習歷程，以建立幾何論證能力的發展機制。 本研究主要分為兩個階段，第一階段為國三學生學習現況的調查，研究樣本為已修畢幾何證明的國三學生，共兩個班級74位學生接受問卷，第二階段為探究活動的實施，主要有6位學生參與；採用的研究工具在第一階段研究中有基本幾何圖形概念問卷、幾何證明有效性瞭解問卷、幾何證明能力問卷等三份問卷，而第二階段採用的研究工具有學習本以及偵錯問卷。 研究方法主要為詮釋性研究法。探究活動採參與觀察研究法。蒐集的資料有學生問卷的卷面作答情形、探究活動中學生的對話文字稿及學習本內學生所記錄的圖形操作及構圖過程。 針對本研究之研究目的，主要的研究結果如下： (一)國三學生對基本幾何圖形的瞭解源自其典型圖形心像的屬性。 (二)不同附圖形式的改變對於國三學生在論證有效性瞭解上造成影響。 (三)國三學生因附圖形式而造成的幾何論證障礙有：(1)依照典型圖形心像訂定推論目標(2)因附圖視覺表徵導致過度一般化典型圖形之屬性或引用錯誤性質，而造成推論障礙。 (四)在合作學習的情境下，國三學生能經由充分操作圖形及自行構圖的過程，將定義時不要之屬性命題化，進而形成圖形之定義並發現圖形間的包含關係。 (五)瞭解圖形定義的國三學生，能依照題意呈現不同附圖方式，因此能瞭解證明有效性並突破附圖所造成的幾何論證障礙，進行證明。Item 高二學生對數概念之保留與解題現象(2002) 周淑梅本研究的目的在於了解中等程度的高二學生，在一段時間沒有練習對數題目的情況下，對於對數的定義及對數規則的保留情形，以及保留情形與解對數題的關聯。除此，本研究亦探討學生對於對數的情意方面的情形。因此本研究是描述性研究，採取問卷調查法，旨在描述及解釋現在的情況。研究樣本為台北市一所公立高中之學生，學生程度約為高中聯合招生考試最低錄取成績508分的學生。 本研究的主要發現為： 一、 在保留情形方面： 能主動、被動擷取定義的學生分別約為四分之一、二分之一。能主動擷取各規則之人數比例均在兩成以下，能被最多學生主動擷取出的規則為 。最多學生能被動擷取出的規則是 ，約為八成。定義與規則的保留為正相關。 二、 保留與解題的關聯： j給予解題所需的資訊時，能記得定義、規則的學生之答對率，較不記得定義、規則的學生之答對率為高。k當題目的底數為無理數、真數與底數的關係為分數次方、題目形式明顯與規則相似時，記得定義的學生較易有不用定義改用規則解題的情形。l試卷中的定義資訊對原本就記得定義的學生影響不大，學生是否使用定義解題與保留情形較有關。m能記得運算規則的學生解題時，當題目與運算規則形式不同時，便較不易成功使用規則解題。n試卷中的規則資訊在題目與規則形式不同時對學生較沒有幫助。 三、 情意方面現象： 多數學生認為對數符號、想法不容易理解、學習。運算規則容易背錯用錯，即使會背規則也無法解題。學生也認為對數與其他學習領域或生活沒有太大的關聯。Item 朝鮮算學家學習中國古代數學文本的轉化：以南秉哲（1817~1863）《海鏡細艸解》為例(2003) 蕭文俊論及中朝兩國的數學交流，由於在歷史上很長一段時間，韓國都視中國為宗主國，因此朝鮮對中國當然都是輸入遠大於輸出，儘管如此，朝鮮算學家並非只是被動的吸收。但在中國與近鄰國家的文化交流研究中，優先權的論述結構卻往往輕易地抹煞了文化入超國的自主發展。而且，不了解同處於漢文化圈的東亞其他各國的歷史和文化，我們就不能真正了解中國文化本身。綜合以上三點，乃引發筆者希望透過南秉哲（1817~1863）《海鏡細艸解》一書的研究，佐證『朝鮮算學家學習中國古代數學文本的轉化』。 本研究的主體是《測圓海鏡》與《海鏡細艸解》這兩本書，所採用的策略是將這兩本書做全面性的比對研究，進而歸納出本研究之結論，共有以下三點： 1. 首先在轉化方面： 南秉哲先生在態度上是本著自主的立場來學習《測圓海鏡》這本書，而且在學習的過程中，他並非僅是被動的吸收而是主動的理解。以南秉哲（1817~1863）《海鏡細艸解》為例，確實見證了「朝鮮算學家學習中國古代數學文本的轉化」。 2. 其次在算學觀方面： 十九世紀朝鮮算學家社群對於算學的看法令人驚羨，當代算學家竟能在算學研究之餘，確認算學研究的『正當性』，從而，算學在儒家心性論中的知識位階，也獲得了最大幅度的提昇。尤其難能珍貴的是：他們的理想性竟能結合具體的實踐性作為，以一種簡明易懂的方式，來達到流傳散佈數學的效果。 這絕非朝鮮數學史的個案，例如：十八世紀儒家明算者趙泰耇（1660~1723）認為：算學擁有訓練心智與道德實踐的功能。兩相結合之下，隱約可以感受出朝鮮半島自十七世紀末至十九世紀其間，朝鮮算學觀的演化，而十九世紀朝鮮算學家社群是以一種更為圓熟的態度面對算學，以南秉哲（1817~1863）《海鏡細艸解》為例，確實見證了這個事實。 3. HPM的反思： 在研讀數學文本《海鏡細艸解》的過程之中，筆者見證了：想在數學課堂上適當的運用HPM，必須要有紮實的數學教育的訓練，更需透過廣泛閱讀好書培養必要的數學史功夫，還要隨時貼近文本並保持敏銳的問題意識，如此或有可能逐漸體會：數學是某脈絡中的一種知識活動（mathematics in context），亦即它也擁有豐富的歷史文化向度（或維度 dimension），進而在教學設計中，分享二十一世紀最令人矚目的『多元文化關懷』。Item 朴繘《籌學本原》初探(2003) 孫挴茵Item Polynomial Invariants of Five-Dimensional Orthogonal Groups(2003) 黃文彬Let Q be a nondegenerate quadratic form over the nite eld Fq of odd prime power order q with charFq 6= 2 and Let On(Fq) be the associated orthogonal group. Let On(Fq) act linearly on the polynomial ring Fq[x1; : : : ; xn]: In this thesis we nd the invariant subring Fq[x1; x2; x3; x4; x5]O5(Fq ) with explicit generators. We also prove that this subring is a UFD.Item 清代算學家方中通及其算學研究(2003) 楊玉星《數度衍》是清初算學家方中通（1633~1698年）的數學著作，成書於1661年。此書綜合介紹當時傳入中國的西算和中國傳統的數學知識，是一部會通中西的著作，書中包括除三角學外當時的所有數學，內容裒集《幾何原本》、《算法統宗》、《同文算指》等書，闡述甚詳。《數度衍》共有二十六卷，卷首三卷，為：數原、律衍、幾何約。正卷共二十三卷，分述珠算、筆算、尺算（比例規）、籌算（納皮爾籌算），之後條列古代九章名目，末卷並介紹九章外法。但九章名目的排序與古代九章名目不同，依序為＜勾股＞、＜少廣＞、＜方田＞、＜商功＞、＜差分＞、＜均輸＞、＜盈朒＞、＜方程＞、＜粟布＞。除了卷首三卷外，本書和中國傳統數學著作相同，都是採用問題集的方式編寫題目。全書用八卦之名乾、兌、離、震、巽、坎、艮、坤分為八冊。 方中通身處在明末清初「西學精矣，中土失傳」的時代背景下，他對西洋數學所持「西學歸九章」的態度，和梅文鼎所提倡的「幾何即勾股」有異曲同工之妙，也和明末清初的學者們如黃宗羲、方以智等所倡導「西學中源」說有關。方中通在《數度衍》中會通中西的工作，主要表現在＜勾股＞和＜少廣＞這兩卷，＜勾股＞卷中引入徐光啟的《勾股義》（1609年），＜少廣＞卷中引入利瑪竇和李之藻合譯的《圜容較義》（1608年）。方氏除了抄錄各該書中「論曰」的證明外，有些題目則在「通曰」中，給出了類似「論曰」中的證明，有些還引用中國傳統的「以盈補虛」的方法證明。本書中除了改編自其它算書的內容外，「倍加隔位合數法」算是比較新鮮的材料，是講對數問題，方中通的對數是向傳教士穆尼閣學來的。史家嚴敦杰認為：「此實為《數度衍》一書中最寶貴部分。」 本論文將深入分析方中通的算學著作《數度衍》，也想從方中通的生平及其與同時期中算家或傳教士的互動，來了解其算學研究與學術環境的關聯和可能顯現的意義，以便釐清方中通在清初算學研究的地位及其影響。同時，也期待借由對於方中通的算學研究，不僅能對數學史的研究有助益，而且可豐富今日的中學數學教育。Item 動態環境中廣義角概念學習之研究(2003) 張美珠Item On The Equilibrium Positions of A Square On An Elastic Wire with Energy Involving Arc Length(2003) 凌家東; Chia-Tung LingWe study the equilibrium positions of a square, allowing to move freely on an elastic wire. The energy under consideration is involving the arc length of admissible function. We obtain the necessary and sufficient condition for the existence of minimizers on the weight of the solid body in each case. We also characterize the position(s) of the minimizer(s) in each case.Item 韓國勾股術發展之研究(2003) 謝佩珍Item