The Methods and Error Estimations on the Second-Order Differential Equations

Abstract

本文中，我們將研究下列兩種類別的二階微分方程式的之修飾解法：對於第一類型（Ⅰ）的解法，目前有套裝軟體發展，如PHASER，其中使用的方法有Euler's Method, Improved Euler's Method, 及Runge-Kutta Method。但為使解更精確，我們採用Multistep method且使用Predictor-corr-hod的技巧，通常，我們為了控制錯誤至最小，最主要是要使用每一部份的答案均應準確。因此，我們發展一修飾的解法（融合Runge-Kutta Method, Adams-Bashforth Method, Adams-Moulton Method）並適當選取一小數r（見第一部份文中演算法之步驟2）來解決此問題。對於第二類型（P）的解法通常使用打靶法及有限差分法，但為顧及穩定性，我們採用有限差分法後再加以改進。然後，我們在討論此解法具較高的精確度。

In this paper, we solve the Initial Value Problem (IVP) by a Modified Predictor-Corrector method. We can prove it has trucncation error O(h4) and it is stable. For Boundary Value Problems (BVP), Shooting method and Finite-Difference method are often used. We improve these methods and get some theorems and error estimations.