觀察者所看到的水中光源的位置

Abstract

本文以折射率n大於1的水為例，證明位於y軸上、在水面y=0）下實際深度為h的一個點光源，當由不同的角度觀察時，其像的位置座標X,Y）須滿足以下的方程式：□（□+□）□=1上式中χC為發生全反射之入射點的χ-座標，而〈-yI〉為最大視深初h/n）。如以臨界角θc與折射角θ'表示，則上式亦可改寫如下：sin2θC（-□）□+□=1在國中理化與高中物理課本中，常以插置於水中的筷子或筆為例，來說明光線在空氣與水的交界面，會出現折射的現象。有關此一現象的示意圖，課本上通常多以水中筷子或筆的末端為點光源，畫出數條射向水面的光線，這些光線在到達水面後，先折射進入空氣中，再進入水面上方觀察者的眼睛。課文在說明成像的位置時，常將折射後的光線向後延伸回到水中，而以其交點為點光源在水中成像的位置所在，亦即像點。此像點一般都畫在點光源到水面的垂直線上。嚴格地說，此一結果，只有當觀察者是沿著水面的法線方向注視光源時，才能成立。如就其他的觀察角度而言，水中點光源所成的像，其位置並非固定於前述的垂直線上，而是會隨著觀察的角度而變，所有觀察得到的像點，實際上是落在一條曲線（更嚴格地說，應是曲面）上的。本文以水為透明介質之範例，導出位於y軸上、在水面下實際深度為h的一個點光源，當由不同的角度觀察時，其像的位置座標所須滿足的數學方程式，以更明白地指出包含所有像點的曲線的實際形狀。